• Теория Автоматического Управления Для Чайников Поляков
• Поляков Теория Автоматического Управления Для Чайников Скачать
• Основы Управления
• Поляков К.ю. Теория Автоматического Управления Для Чайников

Новы теории автоматического управления нелинейными системами. Дисциплины 'Теория автоматического управления' состоит в освоении.

Теория автоматического управления для «Чайников». Санкт-Петербург 2008.. Эта методичка – вторая часть «Теории автоматического управления для чайников». Пред-полагается, что первая часть уже прочитана и понята. Основное содержание второй части – слу-чайные процессы в системах автоматического управления и оптимальные линейные системы. Теория автоматического управления (ТАУ) — это дисциплина, изучающая процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию. Автоматика — отрасль науки и техники, охватывающая теорию и практику автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и образующих их технических средств. Теория автоматического управления (ТАУ) — научная дисциплина, изучающая процессы.

Поляков, 2008 Можно показать (сделайте это самостоятельно), что любой регулятор второго порядка с интегратором может быть представлен в форме ПИД-регулятора: C( s) = a s 2 +a s + a 0 C (s ) = K + K I + K D s. 2 1 s T s + 1 s (b s +b ) 1 0 D 7.3. Метод размещения полюсов Один из простых методов синтеза регулятора – размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы, которые во многом определяют ее динамику, например, быстродействие и степень затухания колебаний (см. Смысл в том, чтобы разместить эти полюса в заданных точках комплексной плоскости с помощью специально выбранного регулятора. Эта задача сводится к решению системы линейных уравнений. Пусть передаточная функция объекта задана в виде отношения полиномов P( s) = n (s ) = n 1s +n 0. D (s ) s 2 +d s +n Выберем регулятор вида 1 0 n C (s ) = a 1 s + a 0 C (s ) =, d C ( s) b s +b 1 0 где a 0, a 1, b 0 и b 1 – неизвестные коэффициенты, которые нужно определить.

Характеристиче- ский полином замкнутой системы равен ∆ ( s ) = n ( s ) n C ( s ) + d ( s ) d C ( s ) = ( n1 s + n0 )( a1 s + a0 ) + ( s 2 + d1 s + d0 )( b1 s + b0 ). = b1 s 3 + ( n1 a1 + d1 b1 + b0 ) s 2 + ( n0 a1 + n1 a0 + d0 b1 + d1 b0 ) s + n0 a0 + d0 b0 Предположим, что мы хотим выбрать регулятор так, чтобы разместить корни полинома ∆( s) в заданных точках, то есть добиться выполнения равенства ∆ ( s ) = s 3 + δ 2 s 2 + δ 1 s + δ 0, где δ i ( i = 0.,2) – заданные числа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в последних двух равенствах, получаем s 3: b = 1 1 s 2: n a + d b +b = δ 2 1 1 1 1 0 s 1: n a +n a 0 + d 0 b + d b = δ 1 0 1 1 1 1 0 s0: n a + d b = δ 0 или в матричном виде 0 0 0 0 0 0 1 0 a 1 1 n 1 0 d 1 1 a 0 = δ 2. N 1 d 0 d 1 n 0 b 1 δ 1 0 n 0 0 d0 b0 δ 0 Решение уравнения имеет вид 0 0 1 0 − 1 a 1 1 a 0 = n 1 0 d 1 1 δ 2. N 1 d 0 b 1 n 0 d 1 δ 1 b 0 0 n 0 0 d 0 δ 0 Конечно, квадратная матрица в этом выражении (она называется матрицей Сильвестра) должна быть обратима.

Можно доказать, что она действительно обратима тогда и только тогда, когда полиномы n( s) и d( s) не имеют общих корней, то есть передаточная функция объекта. Поляков, 2008 1 1 Ts Ts + 1 Таким образом, для получения монотонного переходного процесса ЛАЧХ разомкнутой системы должна быть похожа на ЛАЧХ интегратора – это прямая линия с наклоном –20дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на частоте ω c =1/ T. Эта частота называется частотой среза.

Заметим, что для апериодического звена легко определить время переходного процесса: оно примерно равно 3T. Таким образом, частота среза определяет время переходного процесса.

Вспомним, что устойчивость системы также определяется поведением ЛАЧХ в районе частоты среза. В ре- зультате имеем:. устойчивость и качество переходного процесса (время, перерегулирование) определяют- ся формой ЛАЧХ в районе частоты среза, где она пересекает ось L m = 0; эта область на- зывается областью средних частот;. для получения качественного переходного процесса желательно, чтобы наклон ЛАЧХ около частоты среза был равен –20дБ/дек;. если задано время переходного процесса t п, нужно выбирать ω c = 3. T п Теперь разберемся с шумами и робастностью.

Как мы знаем, шумы – это высокочастот- ные сигналы. Кроме того, обычно именно в области высоких частот характеристики объекта и модели могут сильно расходиться. Поэтому для подавления помех и уменьшения влияния оши- бок модели нужно по возможности уменьшать усиление системы в области высоких частот, то есть ЛАЧХ должна резко идти вниз. На рисунке показана типовая желаемая ЛАЧХ. L Это асимптотическая ЛАЧХ, состоящая из отрез- m –20дБ/дек высокие ков. В выделенных точках стыкуются два отрезка частоты (подавление разного наклона. На низких частотах она имеет на- –20дБ/дек помех) клон –20дБ/дек, то есть система содержит интегра- 12-16дБ ω c ω тор, который обеспечивает нулевую ошибку в уста- 0 12-16дБ новившемся режиме.

Низкие средние частоты ЛАЧХ пересекает ось абсцисс под наклоном частоты (устойчивость, –20дБ/дек. Для обеспечения устойчивости и при- (точность) переходный процесс) емлемого показателя колебательности ( M.

Поляков, 2008. наклон ЛАЧХ –40дБ/дек на высоких частотах для подавления помех.

Для решения используем метод коррекции ЛАЧХ. Синяя линия на рисунке обозначает нескор- L ректированную ЛАЧХ, совпадающую с ЛАЧХ апе- m –20дБ/дек риодического звена G( s). L 0 Lж ω c ω 1 ω Желаемая ЛАЧХ (зеленая линия) должна иметь 0 1 наклон –20дБ/дек на низких частотах, чтобы обеспе- 15 дБ T 0 –20дБ/дек чить нулевую статическую ошибку. Частота среза ω c L m определяется требуемым быстродействием: L C ω c = 3/ t п = 2 рад/с. Таким образом, начальный уча- ω сток желаемой ЛАЧХ совпадает с ЛАЧХ интегри- ω c рующего звена с передаточной функцией ω c, то есть 0 ( ω) = 20lg ω c s L (на низких частотах). Ж ω На высоких частотах нужно изменить наклон ЛАЧХ с –20до -40дБ/дек на частоте ω 1, где L m ( ω) = −15 дБ. Из этого условия находим 20lg ω c = − 15 ω c = 10 −15 / 20 ω = 103 / 4 ω c = 5,62 2 =11,24 рад/с.

Ω 1 ω 1 1 Таким образом, мы полностью построили желаемую ЛАЧХ, удовлетворяющую требованиям к системе. Вычитая из нее исходную ЛАЧХ (без коррекции, синяя линия), получим ЛАЧХ регулятора, которая показана красной линией на нижнем графике. Остается перейти от ЛАЧХ регулятора к его передаточной функции. На низких частотах ( ω. ЛАЧХ, нужно добавить в регулятор апериодическое звено с постоянной времени T = 1 = 0,09 c.

Таким образом, окончательно ω y 1 1 ω c ( T 0 s +1) C( s) =. 1 s (T 1s + 1) На рисунке показаны переходные процессы при единичном ступенчатом входном сигнале в нескорректированной системе (синяя линия) 0,5 и в системе с полученным регулятором C( s) (зеленая линия). Графики показывают, что найденный регулятор значительно ускорил переходный процесс и обеспечил нулевую 0 5 10 статическую ошибку (установившееся значе. Поляков, 2008 ние выхода равно 1). Нужно отметить, что алгоритм коррекции ЛАЧХ существенно усложняется, если объект содержит неустойчивые или неминимально-фазовыезвенья.

Комбинированное управление Один из способов улучшить качество управление – изменить структуру системы, добавив в нее второй регулятор C 2 ( s) на входе: x привод g объект + e u δ y C 2 (s ) C (s ) R (s ) P (s ) – Теперь W ( s ) = C 2 ( s ) C ( s ) R ( s ) P ( s ). 1 + C ( s ) R ( s ) P ( s ) Регулятор C 2 ( s) не влияет на свойства контура управления (запасы устойчивости, подавление возмущений, робастность), а влияет только на переходные процессы при изменении задающего воздействия. Поэтому сначала можно, не обращая внимание на переходные процессы, построить регулятор в контуре C( s) так, чтобы обеспечить нужный уровень подавления возмущений и робастность, а затем сформировать нужные качества передаточной функции W ( s) с помощью регулятора C 2 ( s). Поскольку две передаточные функции можно изменять независимо друг от друга, такая схема называется комбинированным управлением (или управлением с двумя степенями свободы ).

В идеале мы хотим, чтобы система точно воспроизводила сигнал x( t) на выходе y( t), то есть, нужно обеспечить W ( s) ≡1. Для этого требуется, чтобы C 2 ( s ) = 1 + C ( s ) R ( s ) P ( s ) = 1, (52) W 1 (s ) C (s )R (s )P (s ) C (s )R (s )P (s ) где W ( s) = – передаточная функция замкнутой системы с одной степенью сво- 1 1 + C( s) R( s) P( s) боды. Следует, что регулятор C 2 ( s) должен быть обратной системой ( инверсией) для Из (52) W 1 ( s). Частотная характеристика W 1 ( j ω) в реальных системах близка к нулю на высоких частотах, следовательно, регулятор C 2 ( s) должен иметь в этом частотном диапазоне огромное уси- ление.

Например, для W 1 ( s) = Ts 1 + 1 получим C 2 ( s) = Ts +1, то есть регулятор содержит физиче- ски нереализуемое дифференцирующее звено. Таким образом, точная инверсия (52) не может применяться в практических задачах. Обычно стараются приближенно обеспечить равенство (52) для тех частот, где важно точно отследить задающий сигнал. Отметим, что существуют и другие схемы с двумя степенями свободы, но можно доказать, что все они эквивалентны, разница только в реализации. Инвариантность Если возмущение g можно как-тоизмерить, для улучшения качества системы иногда вводится третий регулятор ( третья степень свободы). Поляков, 2008 g C 3 (s ) x u 3 привод объект + e u 1 u δ y C 2 (s ) C (s ) R (s ) P (s ) – Теперь передаточная функция по возмущению равна W g ( s) = 1 − C 3 ( s) R( s) P( s). 1 +C (s )R (s )P (s ) В этом случае теоретически есть возможность обеспечить полную компенсацию возмущения g, выбрав C (s ) = 1, (53) 3 R (s ) так что W g ( s) = 0.

Это условие называется условием инвариантности (неизменности), поскольку в этом случае система абсолютно подавляет любые возмущения по входу g. Заметим, что мы снова пришли к идее инверсии (построения обратной системы), как и в (52). К сожалению, на практике условие инвариантности чаще всего невыполнимо, потому что регулятор C 3 ( s) должен быть предсказывающим, так как нужно подать компенсирующий сиг- нал на привод раньше, чем внешнее возмущение успеет повлиять на объект.

Чаще всего получается, что числитель передаточной функции C 3 ( s) (53) должен иметь более высокую степень, чем знаменатель. Это значит, что такой регулятор включает звенья чистого дифференцирования, которые не являются физически реализуемыми. Обычно подбирают регулятор C 3 ( s) так, чтобы он был физически реализуемым, но условие (53) приближенно выполнялось в наиболее важном диапазоне частот. Множество стабилизирующих регуляторов Как известно, не каждый регулятор стабилизирует систему.

Поэтому важно выделить множество регуляторов, которые обеспечивают устойчивость замкнутого контура. Такие регуляторы называются стабилизирующими.

Желательно также получить параметризацию, то есть, представить все множество стабилизирующих регуляторов в виде формулы, зависящей от параметра, который может выбираться произвольно в некоторой допустимой области. Рассмотрим простейшую замкнутую систему: x + e регулятор u объект y C (s ) P (s ) – Ее передаточная функция равна C (s )P (s ) W (s ) =. (54) 1 +C (s )P (s ) Регулятор входит в нее нелинейно, что значительно осложняет анализ и синтез системы. Заметим, что эту функцию можно представить в виде W ( s) = Q( s) P( s), где Q( s) = C (s ) (55) 1 + C( s) P( s). Поляков, 2008 Выражение (55) внешне выглядит как передаточная функция последовательного соединения объекта P( s) и «регулятора» Q( s), причем оно линейно зависит от Q( s). Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли сначала выбрать нужным образом Q( s), а затем найти соответст- вующий ей регулятор, выразив его передаточную функцию из (55): C( s) = Q (s ).

(56) 1 − Q( s) P( s) Очевидно, что функция Q( s) должна быть устойчивой, иначе передаточная функция замкнутой системы W ( s) (55) также окажется неустойчивой. Оказывается, если объект P( s) устойчив, то регулятор, полученный из (56), всегда будет стабилизирующим. Более того, форма (56) охватывает все возможные стабилизирующие регуляторы.

Поэтому (56) – это параметризация множества стабилизирующих регуляторов для устойчивого объекта, она называется параметризаци- ей Юла (D.C. Параметром в (56) является устойчивая функция Q( s), которая может выбираться произ- вольно. На практике регулятор (56) должен быть физически реализуемым. Это значит, что передаточная функция C( s) должна быть правильной (степень ее числителя не больше степени зна- менателя). Для этого функция Q( s) также должна быть правильной.

Теоретически для оптимального слежения нужно выбрать Q( s) =1/ P( s), что дает W ( s) =1, однако чаще всего это невозможно. Дело в том, что передаточная функция объекта в практических задачах – строго правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), и Q( s) получается неправильной. Поэтому используют компромиссные решения, обеспечивая приближенную инверсию только для наиболее важной полосы частот. Существует множество методов синтеза, в которых устойчивая и правильная функция Q( s) выбирается в результате численной оптимизации по какому-либокритерию.

Затем переда- точная функция регулятора рассчитывается по формуле (56). Посмотрим, что получится, если попробовать применить такой подход для неустойчивого объекта с передаточной функцией P( s) = s 1 − 1. Выбрав Q( s) =1, из (56) получаем C( s) = s s − − 1 2. При этом в произведении C( s) P( s) = s s − − 1 2 s 1 − 1 неустойчивый полюс модели объекта сокраща- ется ( компенсируется) неустойчивым нулем регулятора. Характеристический полином ∆( s) = s −1 +( s −2)( s −1) = ( s −1) 2 будет неустойчивым, как и вся замкнутая система. Следовательно, параметризацию (56) в этом случае использовать нельзя. Для неустойчивых объектов используют другую, более сложную параметризацию.

Пусть P( s) = d n ( ( s s ) ), где n( s) и d( s) – полиномы. Выберем произвольный устойчивый полином f ( s), степень которого равна наибольшей из степеней n( s) и d( s). Представим функцию P( s) в виде отношения рациональных функций P( s) = U V ( ( s s ) ), где U ( s) = n f ( ( s s ) ) и V ( s) = d f ( ( s s ) ).

Можно показать, что существуют такие правильные устойчивые функции X ( s) и Y ( s), для которых выполняется равенство U (s )X (s ) +V (s )Y (s ) = 1. (57) Тогда множество всех стабилизирующих регуляторов описывается формулой. Поляков, 2008 C( s) = X (s ) +V (s )Q (s ), (58) Y (s ) −U (s )Q (s ) где Q( s) – произвольная правильная устойчивая функция.

Выражение (58) определяет пара- метризацию множества стабилизирующих регуляторов (параметризацию Юла) в общем слу- чае, даже для неустойчивых объектов. Подставив (58) в формулу (54), получаем, учитывая (57), W (s ) = X (s ) +V (s )Q (s ) U (s ). При синтезе можно выбирать устойчивую правильную функцию Q( s), при которой пере- даточные функции замкнутой системы (по входу, по возмущению, по ошибке) имеют нужные свойства, а затем вычислять передаточную функцию регулятора, используя (58). Для примера рассмотрим снова неустойчивый объект с передаточной функцией P( s) = 1, которую можно записать в виде s − 1 U (s ) 1 s − 1 P( s) =, где U (s ) =, V (s ) =.

Теория Автоматического Управления Для Чайников Поляков

S + 1 V (s ) s + 1 Решением уравнения (57) может быть, например, такая пара устойчивых функций X (s ) = 4, Y ( s) = s + 3. S + 1 s + 1 При выборе Q( s) =1 по формуле (58) получаем C( s) = s + 3. Теперь в произведении C( s) P( s) s + 2 нет никаких сокращений, система устойчива. Поляков, 2008 Заключение Шаг за шагом, мы рассмотрели основные понятия классической теории автоматического управления. Нужно понимать, что вы прочитали не учебник, а небольшое введение, призванное познакомить с основными понятиями и дать общее представление о предмете. Тот, кто серьезно собирается изучать методы теории управления и использовать их в своей работе, должен продолжить изучение, взяв «нормальные» учебники (см.

Список литературы), в которых эти и другие вопросы изложены значительно более строго и научно. За рамками пособия остались многие темы, с которыми должен быть знаком современный специалист по автоматическому управлению. Достаточно сказать, что мы рассмотрели только линейные непрерывные системы, тогда как практически все реальные системы содержат нелинейности и управляются цифровыми регуляторами, то есть являются непрерывно-дискретными. При проектировании обязательно должны учитываться случайные воздействия, которые не обсуждались в пособии. Внедрение цифровых компьютеров позволило использовать адаптивные системы со сложными алгоритмами управления, требующими объемных вычислений. Развиваются и новые классы систем, в которых для управления используется методы искусственного интеллекта и теории нечетких множеств. Автор будет считать свою задачу выполненной, если читатель почувствует в себе силы не остановиться на достигнутом и продолжить самообразование.

Поляков, 2008 Литература для последующего чтения (в порядке увеличения количества страниц) 1. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. Мирошник И.В. Теория автоматического управления.

Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. Первозванский А.А.

Курс теории автоматического управления – М.: Наука, 1986. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления – 4-еизд.

СПб.: Профессия, 2003. Дорф Р., Бишоп Р.

Современные системы управления – М.: Бином, Лаборатория базовых знаний, 2004. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: Бином, Лаборатория базовых знаний, 2004.

Что это такое? Цикл лабораторных работ задуман как введение в анализ, синтез и моделирование систем управления в среде, которая стала фактически общепринятым стандартным средством численных расчетов в области теории управления. Предполагается, что студенты знакомы с классической теорией линейных систем автоматического управления (САУ), например, в объеме учебника Е.П. Попова ( Теория линейных систем автоматического регулирования и управления), и обладают некоторыми навыками работы в Matlab.

Лабораторные работы могут проводиться во время изучения теории нелинейных систем (1-ый семестр 3 курса). Основное внимание уделяется использованию пакета Control Toolbox и среды моделирования Simulink. Поскольку суть явлений лучше понимается на простых примерах, вместо того, чтобы рассматривать запутанные схемы, предлагается исследовать несложную одноконтурную систему, продемонстрировав на ней основные возможности среды Matlab. В силу вводного характера, в этих лабораторных работах не затрагиваются сложные вопросы, требующие существенной теоретической подготовки. Рассмотрение ограничено кругом классических задач, решаемых преимущественно в частотной области. Перечень работ. Исследование разомкнутой линейной системы Ввод и преобразование моделей линейных систем.

Статический коэффициент усиления. Полоса пропускания.

Поляков Теория Автоматического Управления Для Чайников Скачать

Карта нулей и полюсов. Импульсная и переходная характеристики. Частотная характеристика. Модуль LTIViewer.

Основы Управления

Копирование графиков в документ Word. Проектирование регулятора для линейной системы Параллельное и последовательное соединение, замыкание обратной связью.

Минимальная реализация. Построение ЛАФЧХ (диаграмма Боде). Модуль SISOTool. Пропорциональный (П-) регулятор. Пропорционально-дифференциальный (ПД-) регулятор.

Передаточные функции замкнутой системы. Моделирование систем управления в пакете Simulink Создание и редактирование моделей в Simulink. Источники сигналов ( Sources). Средства отображения результатов ( Sinks).

Передача результатов в рабочую область Matlab. Компенсация постоянных возмущений с помощью пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД-) регулятора. Моделирование нелинейных систем управления Модели с подсистемами. Использование нелинейных блоков.

Поляков К.ю. Теория Автоматического Управления Для Чайников

Сравнение линейной и нелинейной моделей. Мультиплексоры, векторные сигналы. Применение скриптов в Matlab. Настройка свойств элементов графика. Программирование в среде Matlab Передача данных из рабочей области в модель. Функции, аргументы и возвращаемые значения. Стандартные функции Matlab.

Функции пользователя. Циклические вычисления. Грубость (робастность) системы. Оптимизация нелинейных систем Компенсация нелинейностей типа «насыщение» (anti-windup). Численная оптимизация нелинейных систем. Использование пакета NCD Blockset. Дискретизация непрерывного регулятора Задача дискретизации непрерывного регулятора.

Компьютер в контуре управления. Линейные цифровые фильтры. Методы переоборудования Эйлера, обратных разностей, Тастина. Выбор интервала квантования.